Le centre de masse sur une grue de chantier

s Dans cette expérience, nous allons diriger une grue de chantier afin de comprendre comment se répartissent différentes masses. L'ensemble des masses peut être assimilé à une seule qui sera donc le centre de masse.

s Chouette ! Nous allons conduire un engin de chantier ! Je mets mon casque et j'arrive.

La grue de chantier

Description de la grue

s La grue se compose de deux parties : une structure verticale et une structure horizontale avec au milieu la cabine de pilotage. La structure horizontale est constituée de la flèche à l'avant de la cabine, et de la contre-flèche à l'arrière de la cabine. Cette dernière est utile pour conserver l'équilibre de l'ensemble. Le système de levage de la grue est composé d'un chariot qui se déplace sur la flèche et qui possède un treuil, un palan et un crochet pour accrocher une charge.

s Dans cette expérience, la grue est très facile à diriger. Il suffit de cliquer sur quatre boutons :

  • pour déplacer vers la gauche
  • pour déplacer vers la droite
  • pour lever la charge
  • pour descendre la charge

s Ainsi tu pourras t'amuser à déplacer la charge sur le sommet de trois immeubles différents et observer comment se positionne le centre de masse de l'ensemble.

Répartition des masses sur la flèche de la grue

s Quand on observe une grue qui déplace une charge, on est vraiment étonné qu'elle puisse tenir en équilibre.

s Plusieurs masses s'appliquent sur cette grue. Nous allons maintenant les décrire. Ces masses sont visualisées par une flèche jaune sur l'écran de l'animation.

  • Le lest au pied de la grue. Il faut plusieurs dizaines de tonnes de lest pour que la grue ne perde pas son équilibre. Dans cette animation la grue est fixée sur l'immeuble, elle est donc correctement lestée. Nous n'utiliserons pas cette masse dans notre expérience.
  • Le poids de la structure horizontale. Elle est de 3 tonnes dans cette expérience et s'applique en son milieu. La longueur totale est de 40 mètres : 10 mètres pour la contre-flèche et 30 mètres pour la flèche. Le poids de la structure horizontale s'applique donc sur un point qui est situé à 10 mètres devant la cabine.
  • Le contrepoids qui se trouve à l'arrière de la contre-flèche. Il représente 9 tonnes, à 10 mètres à l'arrière de la cabine.
  • Enfin pour terminer, la charge qui est de 3 tonnes dans cette expérience. Cette charge peut se déplacer latéralement, et c'est elle qui va modifier le centre de masse de l'ensemble.

Le centre de masse

Centre de masse, centre d'inertie, barycentre, centre de gravité

s J'ai du mal à faire la différence entre différents termes : centre de masse, centre d'inertie, barycentre, centre de gravité. Quelle est la différence ?

  • Nous pouvons déjà éliminer centre de gravité qui est le point d'application de la gravité de plusieurs corps.
  • Le centre d'inertie est plutôt utilisé pour un objet unique ayant une forme particulière. Par exemple le centre d'inertie d'une sphère est son centre.
  • Le barycentre se rapporte au centre des poids et non pas au centre des masses, mais c'est quasiment la même chose.

Calcul du centre de masse

s Dans cette expérience nous avons trois masses :

  • m1 = 3 t pour la structure
  • m2 = 9 t pour le contrepoids
  • m3 = 3 t pour la charge

s Si nous considérons que la cabine de pilotage est le point de repère, nous avons quatre distances :

  • d1 = +10 m pour le centre de la structure horizontale
  • d2= -10 m pour le contrepoids
  • d3 est variable car la charge peut se déplacer
  • d0 est la distance du centre de masse.

s Ce qui définit le centre de masse est que la somme des produits de toutes les masses par leurs distances par rapport à ce centre est égale à zéro :

  • m1.(d1 – d0) + m2.(d2 – d0) + m3.(d3 - d0) = 0

s Voici une formule difficile à utiliser. Tu ne peux pas faire plus simple ?

s Si on développe cette formule, on en trouve une deuxième plus intéressante qui nous permet de calculer la distance du centre de masse :

  • m1.d1 – m1.d0 + m2.d2 – m2.d0 + m3.d3 – m3.d0 = 0
  • m1.d1 + m2.d2 + m3.d3 = m1.d0 + m2.d0 + m3.d0
  • m1.d1 + m2.d2 + m3.d3 = d0.(m1 + m2 + m3)
  • d0 = (m1.d1 + m2.d2 + m3.d3) / (m1 + m2 + m3)

s Si d0 est négatif, le centre de masse se trouve à l'arrière de la cabine et si d0 est positif, le centre de masse se trouve à l'avant de la cabine.

La courbe de charge de la grue

s Quand la grue n'a aucune charge, on se rend compte qu'elle est en déséquilibre vers l'arrière, et lorsque sa charge est en bout de flèche, elle est en déséquilibre vers l'avant.

s Si nous étions dans le monde réel, tu n'aurais pas le droit de déplacer la charge à l'extrémité de la flèche. Car cette charge de 3 tonnes est trop lourde si elle est portée à l'extrémité et elle risque de déséquilibrer la grue. Par contre, cette charge peut être portée en toute sécurité si elle reste proche du pilier de la grue car elle ne provoquera pas un déséquilibre trop grand.

s Comment savoir à quelle distance maximale je peux déplacer une charge d'un certain poids ?

s En utilisant la formule du centre de masse, on dessine la courbe de charge de la grue qui donne la masse maximale pour chaque distance sur la flèche. Son conducteur doit bien la connaître.