La vitesse d'une roue

s La roue est une des plus belles inventions de l'homme. Nous allons étudier ses caractéristiques, avec bien entendu l'oeil d'un physicien.

s Je pense que l'oeil d'un physicien doit voir qu'une roue est ronde ! Qu'est-ce qu'il peut voir de plus ?

s Ce qui intéresse le physicien, c'est la roue en mouvement et sa vitesse. Une roue présente deux vitesses que nous allons expliquer.

La vitesse de rotation

s La première vitesse, est la vitesse de rotation de la roue. Il existe plusieurs façons de l'exprimer :

  • la plus familière est le nombre de tours à la minute ; par exemple 50 tours à la minute
  • la plus utilisée est la fréquence de rotation ; par exemple 3 tours par seconde
  • la plus scientifique est la vitesse angulaire exprimée en radians par seconde et symbolisée par la lettre grecque ω

s Etant donné qu'un tour complet représente 2 π radians. La correspondance entre ces unités est :

  • ω = fréquence × 2.π

s Sur l'écran de l'animation, tu vas utiliser un tracteur agricole. Il est possible de glisser ce tracteur avec ta souris :

  • si tu le positionnes à gauche, il reculera
  • si tu le positionnes à droite, il avancera
  • au milieu, le tracteur sera arrêté

s Il n'est pas très rapide ce tracteur. Je suis curieux de connaître sa vitesse...

s Lorsque le tracteur se déplace à sa vitesse maximale, utilise ta montre et compte le nombre de tours effectués par chaque roue pendant une minute. Un petit caillou blanc est volontairement coincé sur chacun des pneus, pour que tu puisses plus facilement observer les tours de roue. Tu devrais trouver les résultats suivants :

  • La grande roue du tracteur à une vitesse de rotation de 18 tours à la minute = 0,3 tour à la seconde = 1,88 radian par seconde en vitesse angulaire
  • La petite roue du tracteur à une vitesse de rotation 36 tours à la minute = 0,6 tour à la seconde = 3,77 radians par seconde en vitesse angulaire

s La petite roue tourne donc deux fois plus vite. Elle fait deux tours quand la grande n'en fait qu'un seul.

Vitesse par rapport au sol

s Comment connaître maintenant, la vitesse de la roue par rapport au sol ? A chaque tour de roue, la distance parcourue est égale au périmètre de la roue. Petit rappel de géométrie : le périmètre p d'un cercle est le produit du rayon R par 2.π, ou le produit du diamètre D par π

  • p = 2.π.R
  • p = π.D

s Calculons la distance parcourue à chaque tour de roue du tracteur:

  • la grande roue fait 0,700 mètre de rayon ; à chaque tour, elle se déplacera donc de 4,40 mètres
  • la petite roue fait 0,350 mètre de rayon ; à chaque tour, elle se déplacera de 2,20 mètres

s La petite roue avance donc deux fois moins vite par tour.

s Nous avons presque terminé nos calculs. Pour connaître la vitesse V d'une roue par rapport au sol. Il suffit de multiplier sa vitesse de rotation par sa taille :

  • soit on multiplie sa fréquence par son périmètre V = f × p
  • soit on multiplie sa vitesse angulaire par son rayon V= ω × r

s Calculons donc la vitesse des roues par rapport au sol :

  • pour la grande roue V = 1,88 × 0,700 = 1,32 mètre par seconde
  • pour la petite roue V = 3,77 × 0,350 = 1,32 mètre par seconde

s Ouf ! Je suis soulagé. C'est une bonne chose, que les deux roues avancent à la même vitesse par rapport au sol. Même si la petite roue tourne deux fois plus vite.

La trajectoire cycloïdale

s La trajectoire cycloïdaleIntéressons-nous maintenant, aux deux petits cailloux blancs qui sont coincés entre les crampons des pneus. Tu pourras observer que leur trajectoire est particulière : ils montent et ils descendent par rapport au sol selon une certaine courbe. Cette courbe est une cycloïde. La trajectoire est donc cycloïdale.

s Encore un mot bien compliqué.

s Sur chaque tour de roue, la courbe de cette trajectoire a une hauteur égale au diamètre de la roue, et une longueur égale au périmètre de la roue.

s Et bien me voilà bien avancé. J'espère qu'il n'est pas nécessaire de connaître tout cela pour conduire un tracteur !